第三種電気主任技術者・2019年度・機械

2019年度機械問13

問題文

図1に示す R-L 回路において、端子a-a'間に 5V の階段状のステップ電圧 $v_1(t)$ を加えたとき、抵抗 $R_2$ に発生する電圧を $v_2(t)$ とすると、 $v_2(t)$ は図2のようになった。この回路の $R_1 \, [\Omega]$ 、 $R_2 \, [\Omega]$ 及び $L \, [\text{H}]$ の値と、入力を $v_1(t)$ 、出力を $v_2(t)$ としたときの周波数伝達関数 $G(j\omega)$ の式として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

出典：第三種電気主任技術者 2019年度機械問13

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正答：(4)

要点

正解は(4)です。

定常値からの抵抗比の特定:
ステップ入力 $5 \, \text{V}$ に対し、最終値（定常状態）で $v_2 = 1.00 \, \text{V}$ となっている。定常状態ではコイルは短絡とみなせるため、分圧則より：
$5 \times \dfrac{R_2}{R_1 + R_2} = 1 \implies R_1 + R_2 = 5R_2 \implies R_1 = 4R_2$
また、DCゲインは $1/5 = 0.2$ である。
時定数の特定:
図2より、最終値の 63% ( $0.63 \, \text{V}$ ) に達する時間が時定数 $\tau$ である。グラフから $\tau = 0.02 \, \text{s}$ と読み取れる。
RL回路の時定数は $\tau = \dfrac{L}{R_{total}} = \dfrac{L}{R_1 + R_2}$ である。
伝達関数:
$G(j\omega) = \dfrac{R_2}{R_1 + R_2 + j\omega L} = \dfrac{R_2}{R_1 + R_2} \cdot \dfrac{1}{1 + j\omega \frac{L}{R_1+R_2}} = \dfrac{0.2}{1 + j0.02\omega}$
これに合致する伝達関数を持つ選択肢は(2)か(4)か(5)（ゲイン0.2は(3)(4)(5)）。
正しい式は $\dfrac{0.2}{1+j0.02\omega}$ なので、(4)が候補。
定数の検証:
選択肢(4): $R_1=4, R_2=1, L=0.1$
・抵抗比: $4:1$ (OK)
・時定数: $\tau = \dfrac{0.1}{4+1} = \dfrac{0.1}{5} = 0.02 \, \text{s}$ (OK)

よって(4)が正しい。

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