2025年度 上期 理論 問10

この問題では、投入直後と十分時間が経った後のスイッチ電流を別々に考え、途中の増減の形を判断することがポイントです。

スイッチ $S$ を閉じる直前の定常状態では、左側のコイル回路には電流が流れておらず、右側のコンデンサには $1\text{V}$ が充電されている。

スイッチを閉じた後は、スイッチの左側を RL 回路、右側を RC 回路として別々に考えることができる。

左側の RL 回路では、
$$\tau_L=\frac{L}{R}=\frac{1}{1}=1\text{s}$$
であり、電流は
$$i_L(t)=1-e^{-t}$$
と増加して、最終的に $1\text{A}$ に近づく。

右側の RC 回路では、コンデンサの初期電圧が $1\text{V}$ なので、放電電流の初期値は $1\text{A}$ である。
時定数は
$$\tau_C=CR=2\times 1=2\text{s}$$
だから、放電電流は
$$i_C(t)=e^{-t/2}$$
と減少していく。

したがって、スイッチ電流は
$$i_S(t)=i_L(t)+i_C(t)=1-e^{-t}+e^{-t/2}$$
となる。
$t=0$ では
$$i_S(0)=1\text{A}$$
であり、$t\to\infty$ でも
$$i_S(\infty)=1\text{A}$$
となる。

さらに、$t>0$ では
$$i_S(t)-1=e^{-t/2}-e^{-t}>0$$
なので、スイッチ投入後しばらくの間は $1\text{A}$ を上回る。
よって、1Aから始まり、いったん上昇してから再び 1A に戻る波形である (3) が正しい。