2024年度 上期 理論 問10

正解は(3)です。
この問題では、スイッチ投入直前のコンデンサ電圧とコイル電流を初期条件として整理するのがポイントです。

スイッチ投入前（$t<0$）：
定常状態ではコンデンサは開放、コイルは短絡とみなせます。
回路電流はコンデンサがあるため流れません（$i=0$）。
コンデンサの電圧は電源電圧と同じ1Vに充電されています。
コイルの電流は0Aです。

スイッチ投入後（$t \ge 0$）：
スイッチSが閉じると、回路は左右に分離されます。スイッチSに流れる電流 $i_S$ は、左側のコイルからの電流 $i_L$ と右側のコンデンサからの放電電流 $i_C$ の和になります（キルヒホッフの電流則）。

1. 左側（RL回路）： 1V電源、1$\Omega$抵抗、1Hコイル。
   電流 $i_L$ は0から立ち上がります。
   $i_L(t) = \dfrac{E}{R}(1 - e^{-\frac{R}{L}t}) = 1(1 - e^{-t})$
2. 右側（RC回路）： 2Fコンデンサ（初期電圧1V）、1$\Omega$抵抗。
   コンデンサの電荷が抵抗を通じて放電されます（スイッチSを通る）。
   放電電流 $i_C(t) = \dfrac{V_0}{R} e^{-\frac{1}{CR}t} = \dfrac{1}{1} e^{-\frac{t}{2}} = e^{-0.5t}$

合成電流 $i_S$：
$i_S(t) = i_L(t) + i_C(t) = (1 - e^{-t}) + e^{-0.5t}$

波形の考察：
・$t=0$ のとき： $i_S(0) = (1-1) + 1 = 1$ A。
・$t \to \infty$ のとき： $i_S \to 1 + 0 = 1$ A。
・中間の挙動：微分して増減を調べます。
$\dfrac{di_S}{dt} = e^{-t} - 0.5e^{-0.5t}$
$t=0$ で $\dfrac{di_S}{dt} = 1 - 0.5 = 0.5 > 0$。つまり、初期値1Aから一度増加します。
したがって、1Aからスタートし、上に盛り上がってから再び1Aに収束する波形となります。これに該当するのは選択肢(3)です。