第三種電気主任技術者・2021年度・理論

2021年度理論問17(b)

問題文

(選択問題)
図のように、極板間の厚さ $d$ [m], 表面積 $S$ [m $^2$ ] の平行板コンデンサAとBがある。コンデンサAの内部は、比誘電率と厚さが異なる3種類の誘電体で構成され、極板と各誘電体の水平方向の断面積は同一である。コンデンサBの内部は、比誘電率と水平方向の断面積が異なる3種類の誘電体で構成されている。コンデンサAの各誘電体内部の電界の強さをそれぞれ $E_{A1}, E_{A2}, E_{A3}$ , コンデンサBの各誘電体内部の電界の強さをそれぞれ $E_{B1}, E_{B2}, E_{B3}$ とし、端効果, 初期電荷及び漏れ電流は無視できるものとする。また、真空の誘電率を $\varepsilon_{0}$ [F/m] とする。両コンデンサの上側の極板に電圧 $V$ [V] の直流電源を接続し、下側の極板を接地した。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

コンデンサA構成: 上から順に $\varepsilon_{r}=2$ (厚さ $d/6$ ), $\varepsilon_{r}=3$ (厚さ $d/3$ ), $\varepsilon_{r}=6$ (厚さ $d/2$ )。
コンデンサB構成: 左から順に $\varepsilon_{r}=2$ (面積 $S/6$ ), $\varepsilon_{r}=3$ (面積 $S/3$ ), $\varepsilon_{r}=6$ (面積 $S/2$ )。厚さは全て $d$ 。

コンデンサA全体の蓄積エネルギーは、コンデンサB全体の蓄積エネルギーの何倍か、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

出典：第三種電気主任技術者 2021年度理論問17(b)

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正答：(2)

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正解は(2)。印加電圧が同じなので蓄積エネルギー比は静電容量比で決まります。Aは誘電体の直列合成、Bは並列合成として容量を比べることが決め手です。

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エネルギー比
エネルギー $W = \frac{1}{2}CV^2$ 。 $V$ は共通なので静電容量比 $C_A/C_B$ を求める。
$C_A$ (直列): $\dfrac{1}{C_A} = \dfrac{d/6}{2\varepsilon_0 S} + \dfrac{d/3}{3\varepsilon_0 S} + \dfrac{d/2}{6\varepsilon_0 S} = \dfrac{d}{\varepsilon_0 S} \left( \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{12} \right) = \dfrac{d}{\varepsilon_0 S} \frac{10}{36}$ 。
$C_A = 3.6 \dfrac{\varepsilon_0 S}{d}$ 。
$C_B$ (並列): $C_B = \dfrac{2\varepsilon_0 (S/6)}{d} + \dfrac{3\varepsilon_0 (S/3)}{d} + \dfrac{6\varepsilon_0 (S/2)}{d} = \dfrac{\varepsilon_0 S}{d} \left( \dfrac{1}{3} + 1 + 3 \right) = 4.33 \dfrac{\varepsilon_0 S}{d}$ 。
倍率: $3.6 / 4.33 \approx 0.83$ 。

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2021年度 理論 問17(b)

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