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第三種電気主任技術者・2022年度 上期・理論

2022年度 上期 理論 問17(a)

静電気・コンデンサ静電気静電容量誘電体の効果

問題文

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図のように直列に接続された二つの平行平板コンデンサに 120V 120 \mathrm{V} の電圧が加わっている。コンデンサ C1 C_1 の金属板間は真空であり、コンデンサ C2 C_2 の金属板間には比誘電率 εr \varepsilon_r の誘電体が挿入されている。コンデンサ C1 C_1 、C2 C_2 の金属板間の距離は等しく、C1 C_1 の金属板の面積は C2 C_2 の2倍である。このとき、コンデンサ C1 C_1 の両端の電圧が 80V 80 \mathrm{V} であった。次の(a)及び(b)の問に答えよ。
ただし、コンデンサの端効果は無視できるものとする。

コンデンサ C2 C_2 の誘電体の比誘電率の値として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

2022年度 上期 理論 問17(a)の問題図1

出典：第三種電気主任技術者 2022年度 上期 理論 問17(a)

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正答：(4)

要点

正解は(4)。直列接続なので両コンデンサの電荷は等しく、電圧80Vと40Vから容量比を読みます。面積比2倍を式へ入れると、比誘電率は4になります。

詳細解説を読む

真空の誘電率を ε0 \varepsilon_0 、極板間距離を d d 、C2 C_2 の面積を S S とします。C1 C_1 の面積は 2S 2S です。
C1=ε02Sd C_1 = \varepsilon_0 \dfrac{2S}{d}
C2=εrε0Sd C_2 = \varepsilon_r \varepsilon_0 \dfrac{S}{d}
直列接続されたコンデンサの分圧比は静電容量の逆比になります。
電圧は V1=80V V_1 = 80 \mathrm{V} 。全体が 120V 120 \mathrm{V} なので、V2=120−80=40V V_2 = 120 - 80 = 40 \mathrm{V} 。
Q=C1V1=C2V2 Q = C_1 V_1 = C_2 V_2 より、
C2C1=V1V2=8040=2 \dfrac{C_2}{C_1} = \dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{80}{40} = 2
よって C2=2C1 C_2 = 2C_1 です。
式を代入すると、
εrε0Sd=2(ε02Sd) \varepsilon_r \varepsilon_0 \dfrac{S}{d} = 2 \left( \varepsilon_0 \dfrac{2S}{d} \right)
εr=4 \varepsilon_r = 4

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