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第三種電気主任技術者・2022年度 上期・理論

2022年度 上期 理論 問10

静電気・コンデンサ静電気静電容量コンデンサの蓄積エネルギー

問題文

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図の回路において、スイッチSが開いているとき、静電容量 C1=4mF C_1 = 4 \mathrm{mF} のコンデンサには電荷 Q1=0.3C Q_1 = 0.3 \mathrm{C} が蓄積されており、静電容量 C2=2mF C_2 = 2 \mathrm{mF} のコンデンサの電荷は Q2=0C Q_2 = 0 \mathrm{C} である。この状態でスイッチSを閉じて、それから時間が十分に経過して過渡現象が終了した。この間に抵抗 R[Ω] R \mathrm{[\Omega]} で消費された電気エネルギー [J]\mathrm{[J]} の値として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

2022年度 上期 理論 問10の問題図1

出典：第三種電気主任技術者 2022年度 上期 理論 問10

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正答：(3)

要点

正解は(3)。投入前は C1C_1 だけに電荷があり、投入後は総電荷 0.3C0.3C が C1+C2C_1+C_2 に再配分されます。初期エネルギーと最終エネルギーの差を抵抗で消費されたエネルギーとして求める点が決め手です。

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スイッチ投入前の全エネルギー Wstart W_{start} は、C1 C_1 のみに電荷があるため、
Wstart=Q122C1=0.322×4×10−3=0.090.008=11.25J W_{start} = \dfrac{Q_1^2}{2C_1} = \dfrac{0.3^2}{2 \times 4 \times 10^{-3}} = \dfrac{0.09}{0.008} = 11.25 \mathrm{J}

スイッチ投入後、十分時間が経過すると、電荷は2つのコンデンサに再分配されます。電荷保存則より総電荷量は Q=0.3C Q = 0.3 \mathrm{C} のままです。
回路は閉ループを形成し並列接続となるため、合成静電容量は Ctotal=C1+C2=4+2=6mF C_{total} = C_1 + C_2 = 4 + 2 = 6 \mathrm{mF} です。
スイッチ投入後の全エネルギー Wend W_{end} は、
Wend=Q22Ctotal=0.322×6×10−3=0.090.012=7.50J W_{end} = \dfrac{Q^2}{2C_{total}} = \dfrac{0.3^2}{2 \times 6 \times 10^{-3}} = \dfrac{0.09}{0.012} = 7.50 \mathrm{J}

抵抗 R R で消費されたエネルギーは、エネルギーの減少分に等しいため、
ΔW=Wstart−Wend=11.25−7.50=3.75J \Delta W = W_{start} - W_{end} = 11.25 - 7.50 = 3.75 \mathrm{J}

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