2017年度 理論 問2

真空の誘電率を $\varepsilon$ とします。
各コンデンサの静電容量は以下の通りです。
$C_A = \dfrac{\varepsilon S}{d} = C$ と置く。
$C_B = \dfrac{\varepsilon (2S)}{d} = 2C$
$C_C = \dfrac{\varepsilon S}{2d} = 0.5C$

電界の強さ $E$ が同じなので、各コンデンサの電圧 $V$ は $V = Ed$ より、
$V_A = Ed = V$ と置く。
$V_B = Ed = V$
$V_C = E(2d) = 2V$

接続前の総電荷 $Q_{total}$ と総エネルギー $W_{before}$:
$Q_A = CV$, $Q_B = 2CV$, $Q_C = 0.5C \times 2V = CV$
$Q_{total} = Q_A + Q_B + Q_C = 4CV$

$W_A = \dfrac{1}{2}CV^2$, $W_B = \dfrac{1}{2}(2C)V^2 = CV^2$, $W_C = \dfrac{1}{2}(0.5C)(2V)^2 = CV^2$
$W_{before} = W_A + W_B + W_C = 2.5CV^2$

並列接続後の静電容量 $C_{total}$ と電圧 $V'$:
$C_{total} = C_A + C_B + C_C = C + 2C + 0.5C = 3.5C$
電荷保存則より $Q_{total} = 4CV$ は変わらないため、
$V' = \dfrac{Q_{total}}{C_{total}} = \dfrac{4CV}{3.5C} = \dfrac{8}{7}V$

接続後の総エネルギー $W_{after}$:
$W_{after} = \dfrac{1}{2} C_{total} (V')^2 = \dfrac{1}{2} (3.5C) \left( \dfrac{8}{7}V \right)^2 = \dfrac{7}{4}C \cdot \dfrac{64}{49}V^2 = \dfrac{16}{7}CV^2 \approx 2.286 CV^2$

倍率:
$\dfrac{W_{after}}{W_{before}} = \dfrac{\frac{16}{7}CV^2}{2.5CV^2} = \dfrac{16}{7 \times 2.5} = \dfrac{16}{17.5} \approx 0.914$

...計算を再確認します。
$W_{after} = \dfrac{Q_{total}^2}{2 C_{total}} = \dfrac{(4CV)^2}{2 \times 3.5C} = \dfrac{16C^2V^2}{7C} = \dfrac{16}{7}CV^2$
$W_{before} = 2.5CV^2 = \dfrac{5}{2}CV^2$
$\dfrac{16/7}{5/2} = \dfrac{32}{35} \approx 0.914$
計算結果は0.91となります。

よって正解は(2)です。