2010年度 理論 問1

2つの点電荷による電位の合計が $0$ V となる地点を求めます。点 A（座標 $0$）に $+4Q$、点 B（座標 $l$）に $-Q$ の電荷があるとき、点 A からの距離を $r$ とした電位 $V$ は以下の通りです。

① $a$ 領域（$r < 0$）
点 A の左側では、両電荷からの距離を考慮すると：
$$V = \dfrac{4Q}{4\pi\epsilon_0 |r|} + \dfrac{-Q}{4\pi\epsilon_0 (l + |r|)}$$
この式が $0$ となるには $\dfrac{4}{|r|} = \dfrac{1}{l + |r|}$ 即ち $4l + 4|r| = |r|$ となりますが、これを満たす $|r| > 0$ は存在しません。

② $ab$ 領域（$0 < r < l$）
点 A と点 B の間では：
$$V = \dfrac{4Q}{4\pi\epsilon_0 r} + \dfrac{-Q}{4\pi\epsilon_0 (l - r)} = 0$$
$$\dfrac{4}{r} = \dfrac{1}{l - r}$$
これを解くと $4l - 4r = r$ より、$r = \dfrac{4}{5}l$ となります。

③ $b$ 領域（$r > l$）
点 B の右側では：
$$V = \dfrac{4Q}{4\pi\epsilon_0 r} + \dfrac{-Q}{4\pi\epsilon_0 (r - l)} = 0$$
$$\dfrac{4}{r} = \dfrac{1}{r - l}$$
これを解くと $4r - 4l = r$ より、$3r = 4l$ となり $r = \dfrac{4}{3}l$ です。これは点 B から見ると $\dfrac{4}{3}l - l = \dfrac{1}{3}l$ 右側の地点を指します。

以上より、電位が $0$ V となるのは点 A から右に $\dfrac{4}{5}l$ の点と、点 B から右に $\dfrac{1}{3}l$ の点であるため、正解は(2)となります。