第三種電気主任技術者・2010年度・理論

2010年度理論問10

問題文

図に示す回路において、スイッチSを閉じた瞬間(時刻 $t=0$ ) に点Aを流れる電流を $I_{0}$ [A] とし、十分に時間が経ち、定常状態に達したのちに点Aを流れる電流を $I$ [A] とする。電流比 $\dfrac{I_{0}}{I}$ の値を2とするために必要な抵抗 $R_{3}$ [ $\Omega$ ] の値を表す式として、正しいのは次のうちどれか。
ただし、コンデンサの初期電荷は零とする。

出典：第三種電気主任技術者 2010年度理論問10

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正答：(5)

要点

正解は(5)。 $t=0$ (スイッチ投入直後)。コンデンサCは電荷ゼロのため短絡状態とみなせます。回路は、 $R_1$ と「 $R_2$ と $R_3$ の並列回路」の直列接続となります。

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正解は(5)です。

$t=0$ (スイッチ投入直後): コンデンサCは電荷ゼロのため短絡状態とみなせます。
回路は、 $R_1$ と「 $R_2$ と $R_3$ の並列回路」の直列接続となります。
合成抵抗 $Z_0 = R_1 + \dfrac{R_2 R_3}{R_2 + R_3}$
電流 $I_0 = \dfrac{E}{R_1 + \dfrac{R_2 R_3}{R_2 + R_3}}$
$t=\infty$ (定常状態): コンデンサCは充電完了し開放状態とみなせます。 $R_3$ には電流が流れません。
回路は $R_1$ と $R_2$ の直列接続となります。
合成抵抗 $Z_\infty = R_1 + R_2$
電流 $I = \dfrac{E}{R_1 + R_2}$
条件計算: $I_0 / I = 2$
$\dfrac{E / Z_0}{E / Z_\infty} = \dfrac{Z_\infty}{Z_0} = 2$
$Z_\infty = 2 Z_0$
$R_1 + R_2 = 2 \left( R_1 + \dfrac{R_2 R_3}{R_2 + R_3} \right)$
$R_1 + R_2 = 2R_1 + \dfrac{2 R_2 R_3}{R_2 + R_3}$
$R_2 - R_1 = \dfrac{2 R_2 R_3}{R_2 + R_3}$
$(R_2 - R_1)(R_2 + R_3) = 2 R_2 R_3$
$R_2^2 + R_2 R_3 - R_1 R_2 - R_1 R_3 = 2 R_2 R_3$
$R_2^2 - R_1 R_2 = R_2 R_3 + R_1 R_3$
$R_2(R_2 - R_1) = R_3(R_1 + R_2)$
$R_3 = \dfrac{R_2(R_2 - R_1)}{R_1 + R_2}$
以上より、選択肢(5)が正解です。

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