2022年度 下期 理論 問12

正解は(5)です。
ローレンツ力は $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ で表される。
与えられた条件：
$\vec{B}$ は $+z$ 方向。
$\vec{F}$ は $+x$ 方向。
$q < 0$ （負電荷）。

外積の向きを考える。$\vec{F}$ が $+x$ で $q$ が負なので、ベクトル積 $\vec{v} \times \vec{B}$ は $-x$ 方向でなければならない。
$\vec{B}$ は $z$ 軸方向なので、$\vec{v}$ の $y$ 成分 $v_y$ と $\vec{B}$ の外積が $x$ 成分を作る。
$(\vec{v} \times \vec{B})_x = v_y B_z - v_z B_y = v_y B$。
これが負になるためには、$v_y < 0$ でなければならない（$B > 0$ なので）。
図において、①は $y > 0$、②は $y < 0$ の向きである。したがって、向きは ② である。

次に大きさを求める。
ローレンツ力の大きさは $F = |q| v B \sin\theta$ であるが、ここでは $\vec{v}$ と $\vec{B}$（z軸）のなす角を考える。
図より、軌道はy軸から60°傾いている。
y軸とz軸は直交（90°）している。
軌道②はy軸の負の方向に対し、z軸の負の方向へ向かって傾いているか、あるいはy-z平面内のベクトルである。
ベクトルの成分分解で考えると、力に寄与するのは磁界と垂直な速度成分 $v_{\perp}$ である。
磁界はz軸方向なので、垂直成分はy軸成分 $v_y$ である。
図の角度60°はy軸からの角度なので、$v_y = v \cos 60^{\circ}$。
したがって、
$$F = |q| (v \cos 60^{\circ}) B$$
$$1.0 \times 10^{-8} = (4.0 \times 10^{-6}) \times (v \times 0.5) \times (1.0 \times 10^{-3})$$
$$10^{-8} = 2.0 \times 10^{-9} \times v$$
$$v = \dfrac{1.0 \times 10^{-8}}{2.0 \times 10^{-9}} = 5.0 \text{ [m/s]}$$
よって、速さは 5.0 m/s、向きは ②。
以上より、選択肢(5)が正解です。