2024年度 下期 理論 問1

この問題では、層状の誘電体を直列コンデンサとして扱い、各層の容量を先に整理するのがポイントです。

誘電体が層状に入っているため、2つのコンデンサの直列接続として考えることができる。
上側の誘電体の容量 $C_1$（$\varepsilon_{r1}=2, d_1=2\mathrm{mm}$）は、
$$C_1 = \dfrac{\varepsilon_0 \varepsilon_{r1} S}{d_1} = \dfrac{\varepsilon_0 \times 2 \times 0.1}{2 \times 10^{-3}} = \dfrac{0.1 \varepsilon_0}{10^{-3}} = 100 \varepsilon_0$$
下側の誘電体の容量 $C_2$（$\varepsilon_{r2}=4, d_2=4\mathrm{mm}$）は、
$$C_2 = \dfrac{\varepsilon_0 \varepsilon_{r2} S}{d_2} = \dfrac{\varepsilon_0 \times 4 \times 0.1}{4 \times 10^{-3}} = \dfrac{0.1 \varepsilon_0}{10^{-3}} = 100 \varepsilon_0$$
$C_1 = C_2$ であるため、合成静電容量 $C$ は、
$$C = \dfrac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \dfrac{C_1}{2} = 50 \varepsilon_0$$
蓄えられる電荷 $Q$ は、
$$Q = CV = 50 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 12 = 600 \times 8.85 \times 10^{-12} = 5310 \times 10^{-12} = 5.31 \times 10^{-9} \, \mathrm{C}$$
よって、最も近い値は $5.3\times10^{-9}$ である。