第三種電気主任技術者・2009年度・理論

2009年度理論問1

問題文

電極板面積と電極板間隔が共に $S$ $[m^{2}]$ と $d$ $[m]$ で、一方は比誘電率が $\epsilon_{r1}$ の誘電体からなる平行平板コンデンサ $C_{1}$ と、他方は比誘電率が $\epsilon_{r2}$ の誘電体からなる平行平板コンデンサ $C_{2}$ がある。いま、これらを図のように並列に接続し、端子 A, B間に直流電圧 $V_{0}$ $[V]$ を加えた。このとき、コンデンサ $C_{1}$ の電極板間の電界の強さを $E_{1} [V/m]$ 、電束密度を $D_{1} [C/m^{2}]$ 、また、コンデンサ $C_{2}$ の電極板間の電界の強さを $E_{2} [V/m]$ 、電束密度を $D_{2} [C/m^{2}]$ とする。両コンデンサの電界の強さ $E_{1} [V/m]$ 及び $E_{2} [V/m]$ はそれぞれ (ア) であり、電束密度 $D_{1} [C/m^{2}]$ 及び $D_{2} [C/m^{2}]$ はそれぞれ (イ) である。したがって、コンデンサ $C_{1}$ に蓄えられる電荷を $Q_{1} [C]$ 、コンデンサ $C_{2}$ に蓄えられる電荷を $Q_{2} [C]$ とすると、それらはそれぞれ (ウ) となる。
ただし、電極板の厚さ及びコンデンサの端効果は、無視できるものとする。また、真空の誘電率を $\epsilon_{0} [F/m]$ とする。
上記の記述中の空白箇所 (ア)、(イ) 及び (ウ) に当てはまる式として、正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。

出典：第三種電気主任技術者 2009年度理論問1

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正答：(4)

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正解は(4)。並列接続された平行平板コンデンサにおいて、極板間電圧は共に $V_{0}$ で等しい。

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並列接続された平行平板コンデンサにおいて、極板間電圧は共に $V_{0}$ で等しい。
電界の強さは $E = \dfrac{V}{d}$ で表されるため、
$E_{1} = \dfrac{V_{0}}{d}, \quad E_{2} = \dfrac{V_{0}}{d}$
電束密度は $D = \epsilon E = \epsilon_{0}\epsilon_{r} E$ で表されるため、
$D_{1} = \epsilon_{0}\epsilon_{r1} \dfrac{V_{0}}{d}, \quad D_{2} = \epsilon_{0}\epsilon_{r2} \dfrac{V_{0}}{d}$
蓄えられる電荷は $Q = CV$ または $Q = DS$ （ガウスの法則より電束の総数は電荷量に等しい）で表されるため、
$Q_{1} = D_{1}S = \dfrac{\epsilon_{0}\epsilon_{r1}}{d}SV_{0}, \quad Q_{2} = D_{2}S = \dfrac{\epsilon_{0}\epsilon_{r2}}{d}SV_{0}$
これらを満たすのは選択肢4である。

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