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第三種電気主任技術者・2013年度・理論

2013年度 理論 問7

静電気・コンデンサ静電気静電容量

問題文

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4 [Ω\Omega] の抵抗と静電容量が CC [F] のコンデンサを直列に接続したRC回路がある。このRC回路に、周波数 50 [Hz] の交流電圧 100 [V] の電源を接続したところ、20 [A] の電流が流れた。では、このRC回路に、周波数 60 [Hz] の交流電圧 100 [V] の電源を接続したとき、RC回路に流れる電流 [A] の値として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

出典：第三種電気主任技術者 2013年度 理論 問7

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正答：(3)

要点

正解は(3)。50 Hz では Z50=100/20=5 [Ω]Z_{50} = 100/20 = 5 \, [\Omega] より、5=42+XC5025 = \sqrt{4^2 + X_{C50}^2} から XC50=3 [Ω]X_{C50} = 3 \, [\Omega] である。容量性リアクタンスは周波数に反比例するので、60 Hz では XC60=3×5060=2.5 [Ω]X_{C60} = 3 \times \dfrac{50}{60} = 2.5 \, [\Omega] となる。したがって Z60=42+2.52≈4.72 [Ω]Z_{60} = \sqrt{4^2 + 2.5^2} \approx 4.72 \, [\Omega]、電流は I60=100/4.72≈21.2 [A]I_{60} = 100/4.72 \approx 21.2 \, [\text{A}] である。

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正解は(3)です。
50Hzの場合:
インピーダンス Z50=VI=10020=5Z_{50} = \dfrac{V}{I} = \dfrac{100}{20} = 5 [Ω\Omega]
抵抗 R=4R = 4 [Ω\Omega] なので、リアクタンス XC50X_{C50} は、
Z50=R2+XC502Z_{50} = \sqrt{R^2 + X_{C50}^2} より、
5=42+XC502  ⟹  25=16+XC502  ⟹  XC50=35 = \sqrt{4^2 + X_{C50}^2} \implies 25 = 16 + X_{C50}^2 \implies X_{C50} = 3 [Ω\Omega]

60Hzの場合:
容量性リアクタンス XC=12πfCX_C = \dfrac{1}{2\pi f C} は周波数に反比例します。
XC60=XC50×5060=3×56=2.5X_{C60} = X_{C50} \times \dfrac{50}{60} = 3 \times \dfrac{5}{6} = 2.5 [Ω\Omega]
新しいインピーダンス Z60Z_{60} は、
Z60=42+2.52=16+6.25=22.25≈4.717Z_{60} = \sqrt{4^2 + 2.5^2} = \sqrt{16 + 6.25} = \sqrt{22.25} \approx 4.717 [Ω\Omega]
流れる電流 I60I_{60} は、
I60=1004.717≈21.2I_{60} = \dfrac{100}{4.717} \approx 21.2 [A]
以上より、選択肢(3)が正解です。

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