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第三種電気主任技術者・2016年度・理論

2016年度 理論 問9

静電気・コンデンサ静電気静電容量

問題文

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図のように、 R=1ΩR=1 \Omega の抵抗、インダクタンス L1=0.4L_{1}=0.4 mH, L2=0.2L_{2}=0.2 mH のコイル、及び静電容量 C=8μC=8 \muF のコンデンサからなる直並列回路がある。この回路に交流電圧 V=100V=100 V を加えたとき、回路のインピーダンスが極めて小さくなる直列共振角周波数の値 ω1\omega_1 [rad/s] 及び回路のインピーダンスが極めて大きくなる並列共振角周波数の値 ω2\omega_2 [rad/s] の組合せとして、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

2016年度 理論 問9の問題図1

出典：第三種電気主任技術者 2016年度 理論 問9

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正答：(5)

要点

正解は(5)。直列共振（回路全体のリアクタンスが0になる）のとき、インピーダンスは最小（抵抗 RR のみ）となります。回路の合成リアクタンス XX は、 X=0X=0 となる条件より、 これを計算すると、 したがって、ω1≈3.1×104\omega_1 \approx 3.1\times10^4 [rad/s] となります。

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並列部分（CC と L2L_2）が並列共振するとき、並列部分のインピーダンスは無限大となり、回路全体のインピーダンスも極大となります。
並列共振角周波数 ω2\omega_2 は、
ω2=1L2C=10.2×10−3×8×10−6=116×10−10=14×10−5=2.5×104 [rad/s] \omega_2 = \dfrac{1}{\sqrt{L_2 C}} = \dfrac{1}{\sqrt{0.2\times10^{-3} \times 8\times10^{-6}}} = \dfrac{1}{\sqrt{16\times10^{-10}}} = \dfrac{1}{4\times10^{-5}} = 2.5\times10^4 \text{ [rad/s]}

直列共振（回路全体のリアクタンスが0になる）のとき、インピーダンスは最小（抵抗 RR のみ）となります。
回路の合成リアクタンス XX は、
X=ωL1−1ωC−1ωL2 X = \omega L_1 - \dfrac{1}{\omega C - \frac{1}{\omega L_2}}
X=0X=0 となる条件より、
ωL1=ωL2ω2L2C−1⇒ωL1(ω2L2C−1)=ωL2 \omega L_1 = \dfrac{\omega L_2}{\omega^2 L_2 C - 1} \Rightarrow \omega L_1 (\omega^2 L_2 C - 1) = \omega L_2
ω2L1L2C−L1=L2⇒ω2=L1+L2L1L2C \omega^2 L_1 L_2 C - L_1 = L_2 \Rightarrow \omega^2 = \dfrac{L_1 + L_2}{L_1 L_2 C}
これを計算すると、
ω1=0.4×10−3+0.2×10−30.4×10−3×0.2×10−3×8×10−6=0.6×10−30.64×10−12=6064×108≈0.9375×104≈3.06×104 \omega_1 = \sqrt{\dfrac{0.4\times10^{-3} + 0.2\times10^{-3}}{0.4\times10^{-3} \times 0.2\times10^{-3} \times 8\times10^{-6}}} = \sqrt{\dfrac{0.6\times10^{-3}}{0.64\times10^{-12}}} = \sqrt{\dfrac{60}{64}\times10^8} \approx \sqrt{0.9375}\times10^4 \approx 3.06\times10^4
したがって、ω1≈3.1×104\omega_1 \approx 3.1\times10^4 [rad/s] となります。

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