2022年度 上期 理論 問8

正解は(2)です。
スイッチSが閉じているとき：
コイル $L$ は短絡されるため、回路は抵抗 $R$ のみとなります。
消費電力 $P_{close} = \dfrac{E^2}{R}$

スイッチSが開いているとき：
抵抗 $R$ とコイル $L$ の直列回路となります。誘導リアクタンスを $X_L = 2\pi f L$ とします。
インピーダンス $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$
電流 $I = \dfrac{E}{\sqrt{R^2 + X_L^2}}$
消費電力 $P_{open} = I^2 R = \dfrac{E^2}{R^2 + X_L^2} R$

条件より：
$P_{open} = \dfrac{1}{2} P_{close}$
$$\dfrac{E^2 R}{R^2 + X_L^2} = \dfrac{1}{2} \dfrac{E^2}{R}$$
両辺の $E^2$ を消去し整理すると、
$$\dfrac{R}{R^2 + X_L^2} = \dfrac{1}{2R}$$
$$2R^2 = R^2 + X_L^2$$
$$R^2 = X_L^2 \implies R = X_L$$
これより、
$$R = 2\pi f L$$
$$L = \dfrac{R}{2\pi f}$$
以上より、選択肢(2)が正解です。