2022年度 上期 理論 問15(b)

線電流の大きさが等しいということは、電源から見た各相のインピーダンスの大きさが等しい（平衡している）ことを意味します。
デルタ結線された抵抗負荷（$20\Omega, 20\Omega, 60\Omega$）をスター（Y）結線に等価変換します。
頂点をa側、左下をb側、右下をc側と仮定（または回路図の対称性から判断）して計算します。
$R_{ab}=20, R_{ca}=20, R_{bc}=60$ とすると、
a相側の等価Y抵抗 $r_a = \dfrac{20 \times 20}{20+20+60} = \dfrac{400}{100} = 4 \mathrm{\Omega}$
b相、c相側の等価Y抵抗 $r_b = r_c = \dfrac{20 \times 60}{100} = 12 \mathrm{\Omega}$

各相の1相あたりのインピーダンス $Z$ の大きさが等しくなる必要があります。
a相：抵抗 $R$ と 直列リアクタンス $X$、さらに負荷の $r_a$ があります。
$Z_a = (R + r_a) + jX = (R+4) + j9$
b, c相：直列リアクタンス $X$ と負荷の $r_b$ (または $r_c$)。
$Z_b = r_b + jX = 12 + j9$

大きさが等しいので、$|Z_a| = |Z_b|$
$$\sqrt{(R+4)^2 + 9^2} = \sqrt{12^2 + 9^2}$$
$$(R+4)^2 = 12^2$$
$$R+4 = 12 \implies R = 8 \mathrm{\Omega}$$