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第三種電気主任技術者・2022年度 下期・理論

2022年度 下期 理論 問17(b)

静電気・コンデンサ静電気静電容量

問題文

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大きさが等しい二つの導体球A, Bがある。両導体球に電荷が蓄えられている場合、両導体球の間に働く力は、導体球に蓄えられている電荷の積に比例し、導体球間の距離の2乗に反比例する。次の(a)及び(b)の問に答えよ。
ただし、両導体球の大きさは0.3mに比べて極めて小さいものとする。

小問(a)の導体球A, Bを、電荷を保持したままで0.3mの距離を隔てて固定した。ここで、導体球A, Bと大きさが等しく電荷を持たない導体球Cを用意し、導体球Cをまず導体球Aに接触させ、次に導体球Bに接触させた。この導体球Cを図のように導体球Aと導体球Bの間の直線上に置くとき、導体球Cが受ける力が釣り合う位置を導体球Aとの中心間距離[m]で表したとき、その距離に最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

2022年度 下期 理論 問17(b)の問題図1

出典：第三種電気主任技術者 2022年度 下期 理論 問17(b)

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正答：(4)

要点

正解は(4)。同じ大きさの導体球を接触させるたびに総電荷が等分されます。CをA、次にBへ接触させた後のAとBの電荷で再びクーロン力を求めます。

詳細解説を読む

接触による電荷移動を考える。同じ大きさの導体球を接触させると、総電荷は等分される。

  1. C(0) と A(2×10−8 2 \times 10^{-8} ) が接触：
    総電荷 2×10−8 2 \times 10^{-8} 。それぞれ 1×10−8 1 \times 10^{-8} C になる。
    QA′=1×10−8 Q_{A}' = 1 \times 10^{-8} 、QC′=1×10−8 Q_{C}' = 1 \times 10^{-8} 。
  2. C(1×10−8 1 \times 10^{-8} ) と B(3×10−8 3 \times 10^{-8} ) が接触：
    総電荷 4×10−8 4 \times 10^{-8} 。それぞれ 2×10−8 2 \times 10^{-8} C になる。
    QB′=2×10−8 Q_{B}' = 2 \times 10^{-8} 、QC′′=2×10−8 Q_{C}'' = 2 \times 10^{-8} 。

最終電荷：QA′=1×10−8 Q_{A}' = 1 \times 10^{-8} 、QB′=2×10−8 Q_{B}' = 2 \times 10^{-8} 、QC′′=2×10−8 Q_{C}'' = 2 \times 10^{-8} 。
CをAから距離 x x [m] の位置に置く。Bからの距離は 0.3−x 0.3 - x 。
Cが受ける力が釣り合う条件（Aからの反発力＝Bからの反発力）：
kQA′QC′′x2=kQB′QC′′(0.3−x)2 k \dfrac{Q_{A}' Q_{C}''}{x^2} = k \dfrac{Q_{B}' Q_{C}''}{(0.3 - x)^2}
共通項を消去：
QA′x2=QB′(0.3−x)2 \dfrac{Q_{A}'}{x^2} = \dfrac{Q_{B}'}{(0.3 - x)^2}
1x2=2(0.3−x)2 \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{2}{(0.3 - x)^2}
両辺の平方根をとる（0<x<0.3 0 < x < 0.3 ）：
1x=20.3−x \dfrac{1}{x} = \dfrac{\sqrt{2}}{0.3 - x}
0.3−x=2x≈1.414x 0.3 - x = \sqrt{2} x \approx 1.414 x
2.414x=0.3 2.414 x = 0.3
x=0.32.414≈0.124 [m] x = \dfrac{0.3}{2.414} \approx 0.124 \text{ [m]}

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