2025年度 上期 機械 問18(b)

この問題では、内側と外側のループを順に整理し、伝達関数を求めたうえで軌跡の特徴へつなげることがポイントです。

$G_o(j\omega) = \dfrac{2}{1 + j\omega 0.5}$ のベクトル軌跡。
$$G_o(j\omega)=\frac{2}{1+j0.5\omega} =\frac{2(1-j0.5\omega)}{1+0.25\omega^2}$$
より、実部を $x$、虚部を $y$ とすると
$$x=\frac{2}{1+0.25\omega^2}, \qquad y=-\frac{\omega}{1+0.25\omega^2}$$
である。

この 2 式から $\omega$ を消去すると、
$$(x-1)^2+y^2=1$$
となるので、軌跡は中心 $(1,0)$、半径 $1$ の円である。
ただし $\omega \ge 0$ では虚部 $y\le 0$ だから、第4象限側の半円だけを通る。

$\omega = 0$ のとき
$$G_o=2$$
で、実軸上の点 $2.0$ から始まる。
また、$\omega \to \infty$ で
$$G_o \to 0$$
となり、原点へ近づく。

さらに、
$$\omega=2 \text{ rad/s}$$
のとき
$$G_o=\frac{2}{1+j}=1-j$$
となるので、$-45^\circ$ 方向の点 $(1,-1)$ を通る。
したがって選択肢図では、実軸の右側で点 $2$ から始まり、下側の半円をたどって原点に近づく軌跡を選べばよい。これらを満たす図は (3) である。