2017年度 機械 問16(b)

図1に示す単相交流電力調整回路が制御遅れ角 [rad] で運転しているときの動作を考える。
正弦波の交流電源電圧は $v_{S}$, 負荷は純抵抗負荷又は誘導性負荷であり、負荷電圧を$v_{L},$ 負荷電流を $i_{L}$ とする。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

交流電源電圧 $v_{s}$ の実効値を $V_{S}$ として、純抵抗負荷の場合の負荷電圧の実効値 $V_{L}$ は、制御遅れ角を$\alpha$ [rad]として、
$$V_{L}=V_{S}\sqrt{1-\dfrac{\alpha}{\pi}+\dfrac{\sin 2\alpha}{2\pi}}$$
で表される。制御遅れ角を $\alpha_{1}=\frac{\pi}{2}$ [rad]から $\alpha_{2}=\frac{\pi}{4}$ [rad]に変えたときに、負荷の抵抗で消費される交流電力は何倍となるか、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。