第三種電気主任技術者・2024年度下期・理論

2024年度下期理論問8

問題文

図のように、二つの正弦波交流電圧源 $e_{1} [\mathrm{V}]$ 、 $e_{2} [\mathrm{V}]$ が直列に接続されている回路において、合成電圧 $v [\mathrm{V}]$ の最大値は $e_{1}$ の最大値の (ア) 倍となり、その位相は $e_{1}$ を基準として (イ) $[\mathrm{rad}]$ の (ウ) となる。
上記の記述中の空白箇所 (ア)～(ウ) に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
$e_{1} = E \sin(\omega t + \theta)$
$e_{2} = \sqrt{3} E \sin(\omega t + \theta + \frac{\pi}{2})$

出典：第三種電気主任技術者 2024年度下期理論問8

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正答：(3)

要点

正解は(3)。 $e_1$ と $e_2$ は 90 度ずれたベクトルなので、合成振幅は $\sqrt{E^2+(\sqrt{3}E)^2}=2E$ 、位相は $\pi/3$ の進みになります。ベクトル和を一度取れば答えがそのまま出ます。

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直交する二つの交流電圧ベクトルを足し合わせて、合成振幅と位相を読む問題です。

$e_1$ を基準ベクトル $\dot{E}_1 = E \angle 0$ とすると、 $e_2$ は $\pi/2$ （90度）進んでいるため $\dot{E}_2 = j\sqrt{3}E$ と表せる。
合成電圧 $\dot{V} = \dot{E}_1 + \dot{E}_2 = E + j\sqrt{3}E$ 。
最大値（振幅）は、
$|\dot{V}| = \sqrt{E^2 + (\sqrt{3}E)^2} = \sqrt{E^2 + 3E^2} = \sqrt{4E^2} = 2E$
したがって、 $e_1$ の最大値 $E$ の 2倍となる。
位相角 $\phi$ は、
$\phi = \tan^{-1}\left( \dfrac{\sqrt{3}E}{E} \right) = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \dfrac{\pi}{3} \, \mathrm{rad}$
虚部が正であるため「進み」となる。

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